kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $D=\left\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 3\}, D_{k}(k=1,2,3,4)\right.$ 是 $D$ 的第 $k$ 象限部分，$I_{k}=\iint_{D_{k}} \sin (x- y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，则（ ）． （A）$I_{1}>0$ （B）$I_{2}>0$ （C）$I_{3}>0$ （D）$I_{4}>0$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：区域$D$关于$x$轴、$y$轴、原点对称，被积函数$\sin(x-y)$是奇函数。 步骤2：在$D_2$（第二象限）中，$x<0,y>0$，故$x-y<0$，$\sin(x-y)<0$，但积分区域面积为正，需具体分析符号。 步骤3：利用对称性，$I_1+I_3=0$，$I_2+I_4=0$。在$D_2$内，$x-y<0$，$\sin(x-y)<0$，故$I_2<0$，从而$I_4>0$。 步骤4：选项B正确。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析区域对称性和被积函数奇偶性
区域D关于x轴、y轴、原点对称，被积函数sin(x-y)是奇函数。
提示：注意对称性在积分中的应用。
步骤 2/4
目标：确定各象限内x-y的符号
在第二象限D2中，x<0, y>0，故x-y<0，sin(x-y)<0。
提示：符号判断是积分正负的关键。
步骤 3/4
目标：利用对称性简化积分关系
由对称性，I1+I3=0，I2+I4=0。在D2内sin(x-y)<0，故I2<0，从而I4>0。
提示：对称性可减少计算量。
步骤 4/4
目标：选择正确选项
由I4>0，对应选项B正确。
提示：注意选项对应关系。
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