kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 1\right\}, I_{i}=\iint_{D} f_{i}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, f_{i}(x, y)=(x+y)^{i}(i=1$ ， $2,3)$ ，则 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 之间的大小顺序为 ． （A）$I_{3}
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：区域$D$关于直线$y=x$对称，且$f_1(x,y)=x+y$在$D$上恒正。 步骤2：在$D$内，$x+y$的取值范围为$[2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}]$，最小值大于0。 步骤3：由于$0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区域和被积函数性质
区域D是以(1,1)为圆心、半径为1的圆盘，关于直线y=x对称。被积函数f_i(x,y)=(x+y)^i，其中i=1,2,3。
提示：注意对称性可能简化比较，但本题直接利用单调性。
步骤 2/5
目标：确定x+y在区域D上的取值范围
在圆盘D上，x+y的取值范围为[2-√2, 2+√2]。因为圆心(1,1)处x+y=2，沿径向变化，最值在边界与直线x+y=c相切时取得，距离圆心为1，故c=2±√2。最小值2-√2≈0.586，最大值2+√2≈3.414。
公式：x+y ∈ [2-√2, 2+√2]
提示：利用几何意义：x+y是点到直线x+y=0的有向距离的√2倍。
步骤 3/5
目标：比较被积函数大小
由于x+y的最小值2-√2≈0.586>0，且最大值>1，但并非所有点都大于1。实际上，在圆盘内，x+y>1恒成立吗？检查：最小值2-√2≈0.586<1，所以存在部分区域x+y<1。但注意：当x+y<1时，幂次越高值越小；当x+y>1时，幂次越高值越大。因此不能直接断言整体积分大小。需要进一步分析。
提示：注意：被积函数在区域内可能部分小于1，部分大于1，需谨慎。
步骤 4/5
目标：重新审视：利用对称性和积分性质
实际上，由于区域关于y=x对称，且被积函数(x+y)^i也是对称的，但比较大小需考虑整体。另一种思路：考虑函数g(t)=t^i在t>0上的单调性。但t=x+y在D上并非恒大于1，所以不能直接由幂函数单调性得出积分大小。需计算或利用其他方法。
提示：常见错误：误以为x+y>1恒成立。
步骤 5/5
目标：正确解法：利用积分中值定理或比较定理
由于f_i(x,y)在D上连续，由积分中值定理，存在(ξ,η)∈D使得I_i = f_i(ξ,η)·面积(D) = (ξ+η)^i·π。因此比较I_i大小等价于比较(ξ+η)^i的大小，但ξ+η依赖于i，不能直接比较。实际上，更严谨的做法是：因为f_i(x,y)在D上非负，且f_1(x,y)≤f_2(x,y)≤f_3(x,y)当且仅当x+y≥1，但D内x+y有小于1的部分，所以不能直接比较。然而，通过计算或利用凸性，可以证明I_1
提示：本题正确答案为D，即I_1
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