kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $M=\iint_{D} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, N=\iint_{D}\left[\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, P=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D= \left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\}$ ，则必有（ ）。 （A）$M
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：在$D$上，$1\leq x^2+y^2\leq2$，故$\ln(x^2+y^2)\in[0,\ln2]$。 步骤2：比较$M$与$N$：因$0\leq\ln(x^2+y^2)\leq\ln2<1$，故$\ln(x^2+y^2) > [\ln(x^2+y^2)]^2$，所以$M>N$。 步骤3：比较$M$与$P$：$P=\iint_D(x^2+y^2-1)dxdy$，在$D$上$x^2+y^2-1\geq0$，且$\ln(x^2+y^2)\leq x^2+y^2-1$（利用$\ln t\leq t-1$），故$M
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定被积函数的取值范围
在区域D上，x^2+y^2∈[1,2]，因此ln(x^2+y^2)∈[0,ln2]。由于ln2<1，所以0≤ln(x^2+y^2)≤ln2<1。
提示：注意ln2≈0.693<1。
步骤 2/4
目标：比较M与N
因为0≤ln(x^2+y^2)≤ln2<1，所以ln(x^2+y^2) > [ln(x^2+y^2)]^2（因为t>t^2当0N。
公式：t > t^2 for 0
提示：比较积分大小时，若被积函数处处满足大小关系，则积分也满足。
步骤 3/4
目标：比较M与P
利用不等式ln t ≤ t-1（t>0），令t=x^2+y^2，则ln(x^2+y^2) ≤ x^2+y^2-1。在D上，x^2+y^2-1≥0，所以M ≤ P。等号仅在t=1时成立，但D包含t>1的点，故严格小于，即M
公式：ln t ≤ t-1
提示：常用不等式ln(1+x)≤x，这里t=1+u。
步骤 4/4
目标：综合排序
由M>N和M
提示：注意传递性。
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