kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma, J=\iint_{|x|+|y| \leqslant 1} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma, K=\iint_{|x|+|y| \leqslant 1}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，则 $I$ ， $J, K$ 的大小关系是 ． （A）$I
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$I$积分区域为单位圆，$J$和$K$积分区域为正方形$|x|+|y|\leq1$。 步骤2：在正方形内，$x^2+y^2\leq1$，故$\sin(x^2+y^2)\leq x^2+y^2$，且正方形面积小于单位圆面积。 步骤3：比较$J$与$K$：因$\sin t
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域和被积函数
I的积分区域是单位圆x^2+y^2≤1，被积函数为x^2+y^2；J和K的积分区域是正方形|x|+|y|≤1，被积函数分别为sin(x^2+y^2)和x^2+y^2。
提示：注意区分圆形和正方形区域。
步骤 2/4
目标：比较J与K的大小
在正方形区域内，x^2+y^2的取值范围是[0,1]。由于当t>0时，sin t < t，所以sin(x^2+y^2) < x^2+y^2。又因为被积函数非负，积分区域相同，因此J < K。
公式：sin t < t (t>0)
提示：利用常见不等式sin x < x (x>0)。
步骤 3/4
目标：比较K与I的大小
正方形区域|x|+|y|≤1包含于单位圆x^2+y^2≤1内（因为正方形内任一点满足x^2+y^2≤1，且正方形面积小于单位圆面积）。被积函数相同且非负，积分区域小的积分值小，所以K < I。
提示：比较积分区域的大小：正方形内接于单位圆。
步骤 4/4
目标：综合排序
由J < K和K < I，得到J < K < I。
提示：注意传递性。
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