kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数且其在 $[0,1]$ 上的平均值 $\displaystyle \bar{f}=\frac{1}{2}$ ，满足 $f(x)+a \int_{1}^{x} f(y) f(y-$ x） $\mathrm{d} y=1$ ，求常数 $a$ 的值．
💡 答案解析
**答案**：$a=2$ **解析**： 步骤1：由平均值条件$\displaystyle \int_0^1 f(x)dx = \frac12$。 步骤2：方程$f(x)+a\int_1^x f(y)f(y-x)dy=1$两边对$x$求导，得 $$ f'(x)+a\left[f(x)f(0)+\int_1^x f(y)f'(y-x)dy\right]=0. $$ 步骤3：令$x=1$，得$f(1)+a\cdot0=1$，故$f(1)=1$。 步骤4：令$x=0$，得$f(0)+a\int_1^0 f(y)f(y)dy=1$，即$f(0)-a\int_0^1 f^2(y)dy=1$。 步骤5：利用原方程与求导结果，结合边界条件可解得$a=2$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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