kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,1 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $\iint_{D}(x-y)^{2}[\tan (x-y)+\sin (x-y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：积分区域$D=[1,2]\times[1,2]$关于直线$y=x$对称。 步骤2：被积函数$(x-y)^2[\tan(x-y)+\sin(x-y)]$中，$(x-y)^2$是偶函数，$\tan(x-y)+\sin(x-y)$是奇函数，整体为奇函数。 步骤3：奇函数在对称区域上的积分为0。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析积分区域和被积函数的对称性
积分区域 D = [1,2] × [1,2] 关于直线 y = x 对称。被积函数 f(x,y) = (x-y)^2 [tan(x-y) + sin(x-y)]。令 u = x-y，则 (x-y)^2 是 u 的偶函数，tan(u)+sin(u) 是 u 的奇函数，乘积为奇函数。因此 f(x,y) 关于直线 y=x 是奇函数，即 f(y,x) = -f(x,y)。
公式：f(y,x) = -f(x,y)
提示：注意奇偶性判断：若 f(y,x) = -f(x,y)，则函数关于 y=x 为奇函数。
步骤 2/2
目标：利用对称性计算积分
由于积分区域关于直线 y=x 对称，且被积函数为奇函数，所以二重积分为 0。
公式：∬_D f(x,y) dxdy = 0
提示：对称性简化计算：奇函数在对称区域上积分为零。
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