kaoyan1basic 高等数学 第577题
📝 题目
### 第577题 若级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sqrt{n}\left(\ln \frac{n+1}{n-1}\right)^{p}$ 收敛，则其中常数 $p$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle p<-\frac{1}{2}$ **解析**：$\displaystyle \ln\frac{n+1}{n-1}=\ln\left(1+\frac{2}{n-1}\right)\sim\frac{2}{n}$（$n\to\infty$）。故通项$\displaystyle \sqrt{n}\left(\ln\frac{n+1}{n-1}\right)^p\sim\sqrt{n}\cdot\left(\frac{2}{n}\right)^p=2^p n^{\frac{1}{2}-p}$。级数收敛当且仅当$\displaystyle \frac{1}{2}-p<-1$，即$\displaystyle p>\frac{3}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简通项中的对数部分
利用对数性质：ln((n+1)/(n-1)) = ln(1 + 2/(n-1))，当n→∞时，2/(n-1)→0，故ln(1+2/(n-1)) ~ 2/(n-1) ~ 2/n。
公式：ln(1+x) ~ x (x→0)
提示：注意n从2开始，但n→∞时，n-1~n。
步骤 2/3
目标：得到通项的等价无穷小
通项√n * [ln((n+1)/(n-1))]^p ~ √n * (2/n)^p = 2^p * n^(1/2 - p)。
公式：√n = n^(1/2)
提示：注意指数运算：n^(1/2) * n^(-p) = n^(1/2 - p)。
步骤 3/3
目标：应用p-级数收敛判别法
级数∑n^(1/2-p)收敛当且仅当1/2 - p < -1，即p > 3/2。
公式：∑n^α收敛当且仅当α < -1
提示：注意p-级数的收敛条件：指数小于-1。
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