kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（填空题） 8． $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{x}} \sqrt{1+x^{3}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{2}{9}(2\sqrt{2}-1)$ **解析**： 步骤1：交换积分次序。原积分区域：$y\in[0,1]$，$x\in[\sqrt{y},\sqrt{x}]$，注意$x$上限$\sqrt{x}$有误，应为常数。 步骤2：正确区域：$y\in[0,1]$，$x\in[\sqrt{y},1]$（因$\sqrt{x}$上限应为1）。 步骤3：交换后：$x\in[0,1]$，$y\in[0,x^2]$，积分变为 $$ \int_0^1 dx\int_0^{x^2}\sqrt{1+x^3}dy = \int_0^1 x^2\sqrt{1+x^3}dx. $$ 步骤4：令$u=1+x^3$，$du=3x^2dx$，积分限$u=1$到2，得$\displaystyle \frac13\int_1^2\sqrt{u}du=\frac{2}{9}(2\sqrt{2}-1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：交换积分次序
原积分区域：y∈[0,1]，x∈[√y, 1]（注意原题中x上限√x有误，应为常数1）。交换次序后：x∈[0,1]，y∈[0, x²]。
提示：画出积分区域，确定x和y的范围。
步骤 2/4
目标：写出交换后的累次积分
∫₀¹ dx ∫₀^{x²} √(1+x³) dy = ∫₀¹ x²√(1+x³) dx。
公式：∫₀^{x²} dy = x²
提示：内层积分对y积分，被积函数与y无关。
步骤 3/4
目标：换元积分
令 u = 1 + x³，则 du = 3x² dx，x² dx = du/3。当x=0时u=1，x=1时u=2。
公式：∫₀¹ x²√(1+x³) dx = (1/3)∫₁² √u du
提示：注意换元后积分限的变化。
步骤 4/4
目标：计算定积分
∫₁² √u du = (2/3)u^(3/2)|₁² = (2/3)(2√2 - 1)，乘以1/3得 (2/9)(2√2 - 1)。
公式：∫ √u du = (2/3)u^(3/2) + C
提示：代入上下限时小心计算。
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