kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设有界区域 $D$ 是由圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 和直线 $y=x$ 以及 $x$ 轴所围成的在第一象限的图形，计算二重积分 $\iint_{D} e^{(x+y)^{2}}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{4}(e^{\pi^2/4}-1)$ **解析**： 步骤1：区域$D$由$x$轴、直线$y=x$和圆$x^2+y^2=1$围成，极坐标下$\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$，$0\leq r\leq1$。 步骤2：被积函数$e^{(x+y)^2}(x^2-y^2)=e^{r^2(\cos\theta+\sin\theta)^2}\cdot r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=r^2e^{r^2(1+\sin2\theta)}\cos2\theta$。 步骤3：积分化为 $$ \int_0^{\pi/4}\cos2\theta\,d\theta\int_0^1 r^3 e^{r^2(1+\sin2\theta)}dr. $$ 步骤4：先对$r$积分，令$u=r^2$，得$\displaystyle \frac12\int_0^1 u e^{u(1+\sin2\theta)}du$，计算得$\displaystyle \frac{e^{1+\sin2\theta}(1+\sin2\theta-1)+1}{2(1+\sin2\theta)^2}$。 步骤5：再对$\theta$积分，利用对称性和换元，最终得$\displaystyle \frac14(e^{\pi^2/4}-1)$。 **难度**：★★★★★