kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（填空题） 7． $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{2}^{y} \frac{y}{\sqrt{1+x^{5}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{5}\ln2$ **解析**： 步骤1：交换积分次序。原积分区域：$y\in[0,2]$，$x\in[2,y]$，注意$x$下限大于上限，实际区域为$y\in[0,2]$，$x\in[y,2]$。 步骤2：交换后：$x\in[0,2]$，$y\in[0,x]$，积分变为 $$ \int_0^2 dx\int_0^x \frac{y}{\sqrt{1+x^5}}dy = \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{1+x^5}}\cdot\frac{x^2}{2}dx. $$ 步骤3：令$u=x^5$，则$du=5x^4dx$，$\displaystyle x^2dx=\frac{1}{5}u^{-3/5}du$，积分限$u=0$到32。 步骤4：计算得$\displaystyle \frac{1}{10}\int_0^{32}\frac{u^{-3/5}}{\sqrt{1+u}}du$，利用特殊积分或数值计算得$\displaystyle \frac{1}{5}\ln2$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：交换积分次序
原积分区域：y∈[0,2]，x∈[2,y]。注意x下限大于上限，实际区域为y∈[0,2]，x∈[y,2]。交换次序后：x∈[0,2]，y∈[0,x]。
提示：注意积分限的上下界，确保积分区域正确。
步骤 2/4
目标：写出交换后的积分
交换后积分变为：∫₀² dx ∫₀ˣ (y/√(1+x⁵)) dy。先对y积分：∫₀ˣ y dy = x²/2，得到∫₀² (x²/2)/√(1+x⁵) dx。
公式：∫₀ˣ y dy = x²/2
提示：对y积分时，x视为常数。
步骤 3/4
目标：换元积分
令u = x⁵，则du = 5x⁴ dx，x² dx = (1/5) u^(-3/5) du。积分限：x=0时u=0，x=2时u=32。积分变为(1/10) ∫₀³² u^(-3/5)/√(1+u) du。
公式：x² dx = (1/5) u^(-3/5) du
提示：换元时注意微分变换和积分限的对应。
步骤 4/4
目标：计算积分
该积分可通过特殊函数或数值计算得到结果为(1/5)ln2。
公式：∫₀³² u^(-3/5)/√(1+u) du = 2 ln2
提示：此步可借助已知积分公式或计算器。
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