kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（填空题） 6． $\displaystyle \int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{\left(1-x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}^{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}(1-\sin x \cos y) \mathrm{d} y+\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{\left(1-x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}^{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}(1-\sin x \cos y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**： 步骤1：积分区域关于$y$轴对称，被积函数中$\sin x\cos y$关于$x$为奇函数，故其积分为0。 步骤2：剩余部分$\iint_D 1\,dxdy$为区域面积。 步骤3：区域由曲线$y=(1-x^{2/3})^{3/2}$和$y=(1-x^2)^{1/2}$围成，前者为星形线，后者为半圆。 步骤4：面积计算得$\displaystyle \frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
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