kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．$I=\int_{1}^{0} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\ln y} f(x, y) \mathrm{d} x$（其中 $f(x, y)$ 连续），交换积分次序得 ． （A）$I=\int_{0}^{\ln y} \mathrm{~d} x \int_{1}^{\mathrm{c}} f(x, y) \mathrm{d} y$ （B）$I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{0} f(x, y) \mathrm{d} y$ （C）$I=\int_{1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\ln y} f(x, y) \mathrm{d} y$ （D）$I=\int_{c^{\prime}}^{0} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：原积分$I=\int_1^0 dy\int_0^{\ln y}f(x,y)dx$，积分区域由$y$从1到0，$x$从0到$\ln y$确定。 步骤2：画出区域：$y\in[0,1]$，$x\in[0,\ln y]$，注意$\ln y\leq0$，故$x\leq0$。 步骤3：交换次序：$x$从$-\infty$到0，$y$从$e^x$到1，即$I=\int_{-\infty}^0 dx\int_{e^x}^1 f(x,y)dy$。 步骤4：选项A中积分限为$\int_0^{\ln y}dx\int_1^{e^x}dy$，与上述一致（注意上下限符号）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定原积分的积分区域
原积分 $I=\int_1^0 dy \int_0^{\ln y} f(x,y) dx$，积分变量 $y$ 从 1 到 0，$x$ 从 0 到 $\ln y$。注意 $y$ 的上限小于下限，实际区域为 $y \in [0,1]$，$x \in [0, \ln y]$，且 $\ln y \leq 0$，所以 $x \leq 0$。
提示：注意积分限的上下顺序，实际积分区域由下限到上限决定。
步骤 2/4
目标：画出积分区域并确定边界
区域由 $y$ 从 0 到 1，$x$ 从 0 到 $\ln y$ 描述。曲线 $x = \ln y$ 即 $y = e^x$，当 $y=0$ 时 $x \to -\infty$，当 $y=1$ 时 $x=0$。区域在 $x$ 负半轴，$y$ 从 $e^x$ 到 1。
公式：$y = e^x$
提示：画出 $y=e^x$ 曲线，注意 $x \leq 0$ 部分。
步骤 3/4
目标：交换积分次序
先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。$x$ 从 $-\infty$ 到 0，$y$ 从 $e^x$ 到 1，即 $I = \int_{-\infty}^0 dx \int_{e^x}^1 f(x,y) dy$。
公式：$I = \int_{-\infty}^0 dx \int_{e^x}^1 f(x,y) dy$
提示：交换次序时，注意将 $x$ 的范围用常数表示，$y$ 的范围用 $x$ 的函数表示。
步骤 4/4
目标：与选项对比
选项 A 为 $I=\int_0^{\ln y} dx \int_1^{e^x} f(x,y) dy$，注意其积分限顺序：$x$ 从 0 到 $\ln y$，$y$ 从 1 到 $e^x$，与上述结果一致（上下限符号相反，但积分值相同）。
提示：注意积分限的符号，交换次序后上下限可能互换，但积分值不变。
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