kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 第11题 设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$
**解析**： 步骤1：考虑极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}$，取自然对数，转化为求极限 $$ \lim_{x \to 0^+} x^{\alpha} \ln(x^2 + x). $$ 步骤2：当 $x \to 0^+$ 时，$x^2 + x \sim x$，因此 $\ln(x^2 + x) \sim \ln x$，原极限等价于 $$ \lim_{x \to 0^+} x^{\alpha} \ln x. $$ 步骤3：由于 $\alpha > 0$，有 $\lim_{x \to 0^+} x^{\alpha} \ln x = 0$（幂函数趋于0的速度快于对数趋于负无穷的速度）。 步骤4：因此原极限的对数值为0，故原极限为 $e^0 = 1$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原极限转化为对数形式
考虑极限 \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}\)，取自然对数，转化为求极限 \(\lim_{x \to 0^+} x^{\alpha} \ln(x^2 + x)\)。
公式：\lim_{x \to 0^+} \ln\left((x^2+x)^{x^\alpha}\right) = \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln(x^2+x)
提示：当底数和指数都含有变量时，通常取对数转化为乘积形式。
步骤 2/4
目标：简化对数部分
当 \(x \to 0^+\) 时，\(x^2 + x \sim x\)，因此 \(\ln(x^2 + x) \sim \ln x\)，原极限等价于 \(\lim_{x \to 0^+} x^{\alpha} \ln x\)。
公式：\ln(x^2+x) \sim \ln x \quad (x \to 0^+)
提示：等价无穷小替换时注意对数函数的性质，\(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)，但此处直接使用等价关系。
步骤 3/4
目标：计算极限
由于 \(\alpha > 0\)，有 \(\lim_{x \to 0^+} x^{\alpha} \ln x = 0\)（幂函数趋于0的速度快于对数趋于负无穷的速度）。
公式：\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0 \quad (\alpha > 0)
提示：这是常见极限结论，也可用洛必达法则或变量代换证明。
步骤 4/4
目标：还原原极限
因此原极限的对数值为0，故原极限为 \(e^0 = 1\)。
公式：\lim_{x \to 0^+} (x^2+x)^{x^\alpha} = e^0 = 1
提示：注意指数函数的连续性。
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