kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 第12题 数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$2$
**解析**： 步骤1：将极限中的表达式改写为差商形式，考虑函数 $f(x)=\arctan(2x)$，则 $$ n^{2}\left(\arctan\frac{2}{n}-\arctan\frac{2}{n+1}\right)=n^{2}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{1}{n+1}\right)\right). $$
步骤2：利用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n$ 介于 $\frac{1}{n+1}$ 与 $\frac{1}{n}$ 之间，使得 $$ f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{1}{n+1}\right)=f'(\xi_n)\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=f'(\xi_n)\cdot\frac{1}{n(n+1)}. $$
步骤3：计算导数 $f'(x)=\frac{2}{1+4x^2}$，代入得 $$ n^{2}\cdot\frac{1}{n(n+1)}\cdot\frac{2}{1+4\xi_n^2}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{2}{1+4\xi_n^2}. $$
步骤4：当 $n\to\infty$ 时，$\xi_n\to 0$，故 $\frac{2}{1+4\xi_n^2}\to 2$，且 $\frac{n}{n+1}\to 1$，因此极限值为 $2$。
**难度**：★★☆☆☆