kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 第13题 设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\frac{1+2 x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\sqrt{2}$
**解析**： 步骤1：设极限存在且为 $a$，对递推式两边取极限，得 $a = \frac{1+2a}{1+a}$。
步骤2：解方程 $a(1+a) = 1+2a$，即 $a^2 + a = 1 + 2a$，整理得 $a^2 - a - 1 = 0$，解得 $a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。
步骤3：由 $x_0 = 0$，$x_1 = \frac{1+0}{1+0} = 1$，$x_2 = \frac{1+2}{1+1} = \frac{3}{2}$，数列递增且有上界，故极限应为正根，即 $a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设极限存在并建立方程
设极限为a，对递推式x_n = (1+2x_{n-1})/(1+x_{n-1})两边取极限，得a = (1+2a)/(1+a)。
公式：a = \frac{1+2a}{1+a}
提示：假设极限存在是求递推数列极限的常用方法。
步骤 2/3
目标：解方程求a
将方程两边乘以1+a，得a(1+a)=1+2a，即a^2+a=1+2a，整理得a^2 - a - 1 = 0，解得a = (1±√5)/2。
公式：a^2 - a - 1 = 0
提示：解二次方程时注意判别式。
步骤 3/3
目标：根据数列性质确定极限值
计算前几项：x0=0，x1=1，x2=3/2，数列递增且有上界，故极限应为正根，即a=(1+√5)/2。
提示：通过单调有界准则判断极限存在并选择正确根。
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