kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 第14题 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=3$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． ## ✓ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$2$
**解析**： 步骤1：由已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=3$，且分母 $x \to 0$，则分子必须趋于0，即 $\ln \left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right) \to 0$，从而 $x+\frac{f(x)}{x} \to 0$，故 $\frac{f(x)}{x} \to 0$。
步骤2：利用等价无穷小：当 $u \to 0$ 时，$\ln(1+u) \sim u$。令 $u = x + \frac{f(x)}{x}$，则原极限化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{x + \frac{f(x)}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{f(x)}{x^2}\right) = 3. $$
步骤3：由上式得 $1 + \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 3$，因此 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 2$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析极限存在的必要条件
由已知极限 lim_{x→0} ln(1+x+f(x)/x)/x = 3，且分母 x→0，则分子必须趋于0，即 ln(1+x+f(x)/x)→0，从而 x+f(x)/x→0，故 f(x)/x→0。
提示：注意极限存在的必要条件：分母趋于0时，分子也必须趋于0。
步骤 2/3
目标：利用等价无穷小化简极限
当 u→0 时，ln(1+u)~u。令 u=x+f(x)/x，则原极限化为 lim_{x→0} (x+f(x)/x)/x = lim_{x→0} (1+f(x)/x^2) = 3。
公式：ln(1+u)~u (u→0)
提示：等价无穷小替换时，需确保替换后的表达式极限存在。
步骤 3/3
目标：求解目标极限
由上式得 1 + lim_{x→0} f(x)/x^2 = 3，因此 lim_{x→0} f(x)/x^2 = 2。
提示：直接移项即可得到结果。
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