kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 第15题 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ． ## －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**：由已知极限，将$\ln(1-x)$展开为$\displaystyle -x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，代入得$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{-x-\frac{x^2}{2}+xf(x)+o(x^2)}{x^2}=0$，即$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x(f(x)-1)-\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2}=0$，故$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}-\frac12=0$，所以$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)-1}{x}=\frac12$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用已知极限和泰勒展开求解
将 ln(1-x) 在 x=0 处展开：ln(1-x) = -x - x^2/2 + o(x^2)。代入已知极限得：lim_{x→0} [ -x - x^2/2 + x f(x) + o(x^2) ] / x^2 = 0。
公式：ln(1-x) = -x - x^2/2 + o(x^2)
提示：注意展开到二阶，因为分母是 x^2。
步骤 2/3
目标：整理分子，分离出待求极限的形式
分子可写为 x(f(x)-1) - x^2/2 + o(x^2)。因此极限化为：lim_{x→0} [ x(f(x)-1) - x^2/2 + o(x^2) ] / x^2 = 0。
提示：将 x f(x) 写成 x(f(x)-1) + x，与 -x 抵消。
步骤 3/3
目标：拆分极限并求解
拆分为：lim_{x→0} [ (f(x)-1)/x ] - 1/2 + lim_{x→0} o(x^2)/x^2 = 0。由于 o(x^2)/x^2 → 0，故 lim_{x→0} (f(x)-1)/x = 1/2。
公式：lim_{x→0} (f(x)-1)/x = 1/2
提示：注意极限四则运算的条件。
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