kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 第16题 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\ln3$ **解析**：当$x\to+\infty$时，$\displaystyle x^{\frac1x}=e^{\frac{\ln x}{x}}\to e^0=1$，由$f$在$x=1$连续且$f(1)=1$，得$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x^{\frac1x})=f(1)=1$，故原极限为$\ln(2+1)=\ln3$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算内层极限：x^(1/x) 当 x→+∞ 时的极限
当 x→+∞ 时，x^(1/x) = e^(ln x / x)。由于 ln x / x → 0，所以 x^(1/x) → e^0 = 1。
公式：x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}}, \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}=0
提示：利用指数和对数转换，将幂指函数化为指数函数形式。
步骤 2/3
目标：利用函数连续性求 f(x^(1/x)) 的极限
由于 f 在 x=1 连续，且 x^(1/x) → 1，所以 lim_{x→+∞} f(x^(1/x)) = f(1) = 1。
公式：\lim_{x\to a} f(g(x)) = f(\lim_{x\to a} g(x)) 若 f 在极限点连续
提示：复合函数的极限：内层极限存在且外层函数在该点连续时，极限可交换。
步骤 3/3
目标：计算原极限
原极限 = lim_{x→+∞} ln[2 + f(x^(1/x))] = ln(2 + 1) = ln 3。
公式：\lim_{x\to+\infty} \ln[2+f(x^{1/x})] = \ln(2+1)=\ln 3
提示：对数函数在定义域内连续，可直接代入极限值。
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