kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 第17题 设 $a, b$ 为常数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=-1$，$b=0$ **解析**：$\displaystyle \sqrt[3]{1-x^6}=(-x^6)^{\frac13}\sqrt[3]{1-\frac1{x^6}}=-x^2\left(1-\frac1{3x^6}+o(\frac1{x^6})\right)=-x^2+\frac1{3x^4}+o(\frac1{x^4})$，代入极限得$\lim_{x\to\infty}(-x^2-ax^2-b)=0$，故$-1-a=0$且$-b=0$，解得$a=-1$，$b=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简立方根表达式
将 $\sqrt[3]{1-x^6}$ 写成 $(-x^6)^{1/3} \sqrt[3]{1-1/x^6} = -x^2 \sqrt[3]{1-1/x^6}$，并利用泰勒展开 $\sqrt[3]{1+u}=1+\frac{1}{3}u+o(u)$，其中 $u=-1/x^6$，得到 $\sqrt[3]{1-x^6} = -x^2\left(1-\frac{1}{3x^6}+o\left(\frac{1}{x^6}\right)\right) = -x^2 + \frac{1}{3x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right)$。
公式：$\sqrt[3]{1+u}=1+\frac{1}{3}u+o(u)$
提示：注意 $x\to\infty$ 时，$x^6$ 很大，因此 $1-x^6$ 为负，开立方后提出负号。
步骤 2/3
目标：代入极限表达式
将展开式代入极限：$\lim_{x\to\infty}\left(-x^2 + \frac{1}{3x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right) - a x^2 - b\right)=0$，合并 $x^2$ 项得 $\lim_{x\to\infty}\left((-1-a)x^2 - b + \frac{1}{3x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right)\right)=0$。
提示：极限为0要求所有项趋于0，因此 $x^2$ 项系数必须为0，常数项必须为0。
步骤 3/3
目标：确定系数 a 和 b
由于 $x\to\infty$ 时 $x^2$ 趋于无穷，为使极限为0，必须有 $-1-a=0$，即 $a=-1$。同时常数项 $-b$ 必须为0，即 $b=0$。高阶项 $\frac{1}{3x^4}$ 和 $o\left(\frac{1}{x^4}\right)$ 自动趋于0。
提示：注意 $x^2$ 项若不为0，极限将趋于无穷或负无穷，不可能为0。
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