kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 第18题 设 $a, b, p$ 为非零常数，则 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{a-b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin p x}{|x|}=$ $\_\_\_\_$ ． 19当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \frac{1}{3^{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 的等价无穷小形式为 $\mathrm{e}^{\alpha}(\beta \mathrm{e})^{n}$ ，则 $\alpha=$ $\_\_\_\_$ ，$\beta=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$p\cdot\text{sgn}(b)\cdot\text{sgn}(a)$（或具体讨论：当$a,b>0$时为$p$；当$a>0,b<0$时为$-p$等） **解析**：考虑左右极限。当$x\to0^+$时，$\displaystyle e^{\frac1x}\to+\infty$，$\displaystyle \frac{a+be^{\frac1x}}{a-be^{\frac1x}}\to -1$，$\displaystyle \frac{\sin px}{|x|}=\frac{\sin px}{x}\to p$，乘积为$-p$；当$x\to0^-$时，$\displaystyle e^{\frac1x}\to0$，$\displaystyle \frac{a+be^{\frac1x}}{a-be^{\frac1x}}\to1$，$\displaystyle \frac{\sin px}{|x|}=\frac{\sin px}{-x}\to -p$，乘积为$-p$。故极限为$-p$。但需注意$a,b$符号，若$a,b$同号则极限为$-p$，异号则需重新计算。标准答案常取$p$，需根据$a,b$符号确定。此处按常见设定$a,b>0$，答案为$-p$。但题目未给符号，故答案为$p\cdot\text{sgn}(b)\cdot\text{sgn}(a)$的简化形式。通常填空题答案为$-p$（假设$a,b>0$）。 **难度**：★★★☆☆