kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 第20题 设 $f(x)$ 连续，当 $x \rightarrow a$ 时，$f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则当 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数） ◯纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$n+1$ **解析**：由题意，$f(x)\sim C(x-a)^n$（$C\neq0$），则$\displaystyle \int_a^x f(t)dt\sim \int_a^x C(t-a)^n dt = \frac{C}{n+1}(x-a)^{n+1}$，故为$x-a$的$n+1$阶无穷小。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定f(x)的等价无穷小形式
由题意，当x→a时，f(x)是x-a的n阶无穷小，即存在非零常数C，使得f(x) ~ C(x-a)^n。
公式：f(x) ~ C(x-a)^n (C≠0)
提示：注意n阶无穷小的定义：f(x)与(x-a)^n同阶且非零。
步骤 2/3
目标：计算积分∫_a^x f(t)dt的等价无穷小
将f(t)的等价形式代入积分，得∫_a^x f(t)dt ~ ∫_a^x C(t-a)^n dt。计算该积分：∫_a^x C(t-a)^n dt = C/(n+1) (x-a)^{n+1}。
公式：∫_a^x C(t-a)^n dt = C/(n+1) (x-a)^{n+1}
提示：积分时注意变量替换u=t-a，或直接使用幂函数积分公式。
步骤 3/3
目标：确定无穷小的阶数
由于C/(n+1) ≠ 0，因此∫_a^x f(t)dt ~ C/(n+1) (x-a)^{n+1}，故它是x-a的n+1阶无穷小。
提示：阶数由(x-a)的指数决定，常数因子不影响阶数。
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