kaoyan1basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 第21题 已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$6$ **解析**：$x\to0$时，$\displaystyle x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$，$\ln(1+t)\sim t$，故$\displaystyle F(x)\sim \int_0^{\frac{x^3}{6}} t dt = \frac12\left(\frac{x^3}{6}\right)^2 = \frac{x^6}{72}$，所以$n=6$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定被积函数和积分上限的等价无穷小
当 x→0 时，x - sin x ~ x^3/6，ln(1+t) ~ t。
公式：x - sin x ~ x^3/6, ln(1+t) ~ t
提示：利用常见等价无穷小替换
步骤 2/3
目标：将原积分替换为等价形式
F(x) ~ ∫_0^{x^3/6} t dt = 1/2 * (x^3/6)^2 = x^6/72
公式：∫_0^{u} t dt = u^2/2
提示：积分上限替换为等价无穷小，被积函数替换为等价无穷小
步骤 3/3
目标：确定同阶无穷小的阶数
F(x) ~ x^6/72，故与 x^6 同阶，n=6。
提示：比较阶数时忽略常数因子
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