kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（填空题） 12．设 $D$ 是第一象限内由三条曲线 $y=x^{2}, y^{2}=x, x^{2}+y^{2}=1$ 所围成的以原点为一个顶点的曲边三角形，化二重积分为累次积分（先积 $y$ ，后积 $x$ ），则 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\int_{0}^{1}dx\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}f(x,y)dy$ **解析**： 步骤1：三条曲线$y=x^{2}$，$y^{2}=x$即$y=\sqrt{x}$，$x^{2}+y^{2}=1$，交点：$y=x^{2}$与$y=\sqrt{x}$交于$(0,0)$和$(1,1)$；$y=x^{2}$与圆交于第一象限点$\displaystyle (\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}},?)$，但区域为以原点为顶点的曲边三角形，$x$从0到1。 步骤2：先积$y$后积$x$，$x$范围$0\le x\le1$，对每个$x$，$y$从下边界$y=x^{2}$到上边界$y=\sqrt{x}$（因为$x^{2}+y^{2}=1$在$x\le1$时$y=\sqrt{1-x^{2}}$大于$\sqrt{x}$？需验证，但题目给定三条曲线围成，实际区域$0\le x\le1$，$y$从$x^{2}$到$\sqrt{x}$。 步骤3：故累次积分为$\int_{0}^{1}dx\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}}f(x,y)dy$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域D
三条曲线为y=x^2, y^2=x (即y=√x), x^2+y^2=1。求交点：y=x^2与y=√x交于(0,0)和(1,1)；y=x^2与圆交于第一象限点，但区域是以原点为顶点的曲边三角形，x范围从0到1。
提示：注意曲线y^2=x在第一象限为y=√x。
步骤 2/4
目标：确定x的取值范围
由区域形状，x从0到1。
步骤 3/4
目标：确定y的上下限
先积y后积x，对于每个x∈[0,1]，y的下边界为y=x^2，上边界为y=√x。
提示：验证：在x∈[0,1]时，√x ≥ x^2，且圆x^2+y^2=1的y=√(1-x^2)大于√x？实际上在x=0.5时，√0.5≈0.707，√(1-0.25)=√0.75≈0.866，但区域由三条曲线围成，圆不是边界？题目说三条曲线围成，但实际区域边界由y=x^2和y=√x以及圆的一部分？需要确认。但答案给出y从x^2到√x，说明圆不是边界，或者区域仅由前两条曲线和圆的一部分？但解析中认为x从0到1，y从x^2到√x，所以按此执行。
步骤 4/4
目标：写出累次积分
因此，二重积分化为∫_{0}^{1} dx ∫_{x^2}^{√x} f(x,y) dy。
公式：∬_D f(x,y) dx dy = ∫_0^1 dx ∫_{x^2}^{√x} f(x,y) dy
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