kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right.\right\}$ ，常数 $a>0, b>0, a \neq b$ ，计算
$$ I=\iint_{D}\left[(x-1)^{2}+(2 y+3)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \pi ab\left(1+\frac{4}{3}b^{2}+? \right)$（规范答案：$\displaystyle \pi ab\left(1+\frac{4}{3}b^{2}+? \right)$，实际为$\displaystyle \pi ab\left(1+\frac{4}{3}b^{2}+? \right)$） **解析**： 步骤1：展开被积函数$(x-1)^{2}+(2y+3)^{2}=x^{2}-2x+1+4y^{2}+12y+9=x^{2}+4y^{2}-2x+12y+10$。 步骤2：利用对称性，$\iint_{D}x dxdy=0$，$\iint_{D}y dxdy=0$（区域关于$x,y$轴对称？椭圆区域对称，但$x,y$奇函数积分为0）。 步骤3：$\iint_{D}x^{2}dxdy$，令$x=ar\cos\theta$，$y=br\sin\theta$，$|J|=abr$，$0\le r\le1$，$0\le\theta\le2\pi$，则$x^{2}=a^{2}r^{2}\cos^{2}\theta$，积分$\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta d\theta=\pi$，$\displaystyle \int_{0}^{1}r^{3}dr=\frac{1}{4}$，故$\displaystyle \iint_{D}x^{2}dxdy=a^{2}\cdot\pi\cdot\frac{1}{4}\cdot ab=\frac{\pi a^{3}b}{4}$。 步骤4：同理$\displaystyle \iint_{D}y^{2}dxdy=\frac{\pi ab^{3}}{4}$，$\iint_{D}4y^{2}dxdy=\pi ab^{3}$。 步骤5：$\iint_{D}10dxdy=10\pi ab$。 步骤6：总和$\displaystyle I=\frac{\pi a^{3}b}{4}+\pi ab^{3}+10\pi ab=\pi ab\left(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}+10\right)$。 **难度**：★★★☆☆