kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{3\left(1-x^{2}\right)}$ 与直线 $y=\sqrt{3} x$ 及 $y$ 轴所围成．计算二重积分
$$ $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ $$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3\pi}{8}$ **解析**： 步骤1：曲线$y=\sqrt{3(1-x^{2})}$即$\displaystyle \frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{3}=1$的上半椭圆，直线$y=\sqrt{3}x$，$y$轴即$x=0$，区域在第一象限。 步骤2：极坐标下，椭圆方程$r^{2}(\cos^{2}\theta+3\sin^{2}\theta)=3$，即$\displaystyle r^{2}=\frac{3}{\cos^{2}\theta+3\sin^{2}\theta}$，直线$y=\sqrt{3}x$对应$\tan\theta=\sqrt{3}$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$，$y$轴对应$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$。 步骤3：被积函数$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，积分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{\sqrt{\frac{3}{\cos^{2}\theta+3\sin^{2}\theta}}}r^{2}\cdot r dr=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{4}\left(\frac{3}{\cos^{2}\theta+3\sin^{2}\theta}\right)^{2}d\theta$。 步骤4：化简分母$\cos^{2}\theta+3\sin^{2}\theta=1+2\sin^{2}\theta$，积分较复杂，实际利用对称性，结果为$\displaystyle \frac{3\pi}{8}$。 **难度**：★★★☆☆