kaoyan1basic 高等数学 第580题
📝 题目
### 第580题 设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ． $Q^{\circ}$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ **解析**： 步骤1：由条件，$\sum a_n$发散，$\sum (-1)^{n-1}a_n$收敛，知$a_n$单调递减趋于0，且$a_n$为正项级数发散，故收敛半径$R=1$（对$\sum a_n x^n$）。 步骤2：幂级数$\sum a_n 2^n x^{2n}$，令$t=2x^2$，则化为$\sum a_n t^n$，收敛域为$|t|<1$，即$|2x^2|<1$，解得$\displaystyle |x|<\frac{\sqrt{2}}{2}$。 步骤3：在端点$\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$处，$t=1$，级数$\sum a_n$发散，故收敛域为$\displaystyle (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析已知条件，确定正项级数发散与交错级数收敛的含义
由 $a_n>0$，级数 $\sum a_n$ 发散，$\sum (-1)^{n-1}a_n$ 收敛，根据莱布尼茨判别法，$a_n$ 单调递减趋于0，且 $\sum a_n$ 发散，故 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径 $R=1$。
提示：注意正项级数发散且交错级数收敛，说明 $a_n$ 递减趋于0但收敛速度慢，因此 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径为1。
步骤 2/3
目标：将所求幂级数化为标准形式
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n 2^n x^{2n}$，令 $t=2x^2$，则化为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n t^n$。
公式：t = 2x^2
提示：通过变量代换将幂级数转化为 $\sum a_n t^n$ 的形式，便于利用已知收敛半径。
步骤 3/3
目标：确定收敛域
由 $\sum a_n t^n$ 的收敛半径为1，得 $|t|<1$ 时收敛，即 $|2x^2|<1$，解得 $|x|<\frac{\sqrt{2}}{2}$。在端点 $x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ 处，$t=1$，级数 $\sum a_n$ 发散，故收敛域为 $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$。
公式：|2x^2| < 1
提示：注意端点处需单独判断，因为 $t=1$ 时级数发散。
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