kaoyan1basic 高等数学 第581题
📝 题目
### 第581题 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$(-1, 2]$ **解析**： 步骤1：对$\displaystyle \sum a_n(x-\frac12)^n$，在$x=2$处发散，即$\displaystyle |2-\frac12|=\frac32$为发散点；在$x=-1$处收敛，即$\displaystyle |-1-\frac12|=\frac32$为收敛点，故收敛半径$\displaystyle R=\frac32$。 步骤2：幂级数$\sum a_n(x-1)^n$的收敛中心为$x=1$，收敛半径为$\displaystyle R=\frac32$，收敛区间为$\displaystyle |x-1|<\frac32$，即$\displaystyle -\frac12
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定原幂级数的收敛半径
已知幂级数 ∑ a_n (x - 1/2)^n 在 x=2 处发散，在 x=-1 处收敛。计算收敛中心 x0=1/2，收敛半径 R 满足：当 |x - 1/2| < R 时收敛，|x - 1/2| > R 时发散。由 x=2 发散得 |2-1/2|=3/2 ≥ R，由 x=-1 收敛得 |-1-1/2|=3/2 ≤ R，故 R=3/2。
公式：R = sup{ |x - x0| : 级数收敛 }
提示：注意收敛半径由收敛点与发散点共同确定，且边界点需单独判断。
步骤 2/3
目标：确定新幂级数的收敛区间
新幂级数 ∑ a_n (x-1)^n 的收敛中心为 x=1，收敛半径仍为 R=3/2。收敛区间为 |x-1| < 3/2，即 -1/2 < x < 5/2。
公式：|x-1| < 3/2
提示：收敛半径不变，仅平移收敛中心。
步骤 3/3
目标：判断端点收敛性
左端点 x=-1/2 对应原级数中 x=-1（因为 x-1/2 = -1），已知原级数在 x=-1 处收敛，故新级数在 x=-1/2 处收敛。右端点 x=5/2 对应原级数中 x=2（因为 x-1/2 = 2），已知原级数在 x=2 处发散，故新级数在 x=5/2 处发散。因此收敛域为 [-1/2, 5/2)，即 (-1, 2]。
提示：注意端点对应关系：新级数 x 与原级数 x 的关系为 x_new - 1 = x_old - 1/2，即 x_old = x_new - 1/2。
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