kaoyan1basic 高等数学 第582题
📝 题目
### 第582题 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n\left[4^{n}+(-3)^{n}\right]}$ 的收敛半径 $R=$ 583幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． $\_\_\_\_$ ，收敛域为 $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$R=4$；收敛域$[-1,1)$；和函数$\displaystyle S(x)=-\ln(1-x)+\frac{x}{2-x}$ **解析**： 步骤1：求收敛半径。$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n[4^n+(-3)^n]}}=\frac14$，故$R=4$。 步骤2：对$\displaystyle \sum\left(\frac1n+\frac1{2^n}\right)x^n$，$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1n+\frac1{2^n}}=1$，$R=1$。在$x=1$处，$\displaystyle \sum(\frac1n+\frac1{2^n})$发散（调和级数）；在$x=-1$处，$\displaystyle \sum((-1)^n\frac1n+\frac{(-1)^n}{2^n})$收敛（交错级数），故收敛域$[-1,1)$。 步骤3：和函数$\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}+\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{2^n}=-\ln(1-x)+\frac{x/2}{1-x/2}=-\ln(1-x)+\frac{x}{2-x}$。 **难度**：★★★☆☆