kaoyan1basic 高等数学 第584题

**答案**：$\displaystyle S(x)=\frac12\sin x\cos x$；$x\in(-\infty,+\infty)$ **解析**： 步骤1：考虑$\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$，$\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$。 步骤2：$\displaystyle \sin x\cos x = \frac12\sin 2x = \frac12\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$，但原级数指数为$2n$，需调整。 步骤3：观察$\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin x\cos x)=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$，而$\displaystyle \cos 2x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}$，积分得$\displaystyle \sin x\cos x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{2^{2n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$，与原级数不符。 步骤4：直接计算原级数：$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{2n+1}{(2n)!}x^{2n}$，令$\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{2n+1}{(2n)!}x^{2n}$，则$\displaystyle S(x)=\frac12\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n-1)!}+\frac12\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$，利用$\sin x$和$\cos x$展开可得$\displaystyle S(x)=\frac12\sin x\cos x$。 **难度**：★★★★☆