kaoyan1basic 高等数学 第585题
📝 题目
### 第585题 幂级数 $$ 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2 \cdot 4}-\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!!}+\cdots $$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle S(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$ **解析**： 步骤1：注意到$(2n)!!=2^n n!$，故通项为$\displaystyle (-1)^n\frac{x^{2n}}{2^n n!}$。 步骤2：$\displaystyle S(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{(x^2/2)^n}{n!}=e^{-x^2/2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别通项并化简
观察幂级数，通项为 $(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!!}$。由于 $(2n)!! = 2^n n!$，所以通项可化为 $(-1)^n \frac{x^{2n}}{2^n n!} = (-1)^n \frac{(x^2/2)^n}{n!}$。
公式：$(2n)!! = 2^n n!$
提示：双阶乘化简是关键步骤。
步骤 2/3
目标：写出和函数的级数形式
和函数 $S(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(x^2/2)^n}{n!}$。
公式：$S(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (x^2/2)^n}{n!}$
提示：注意求和从 $n=0$ 开始。
步骤 3/3
目标：利用指数函数的泰勒展开求和
指数函数 $e^y = \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}$。令 $y = -x^2/2$，则 $S(x) = e^{-x^2/2}$。
公式：$e^y = \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{n!}$
提示：将级数与指数函数展开式对比。
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