kaoyan1basic 高等数学 第586题
📝 题目
### 第586题 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$S(x)=\sinh x$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。 步骤2：原级数即为$\sinh x$的展开式。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：识别幂级数形式
观察幂级数 ∑_{n=0}^∞ x^(2n+1)/(2n+1)!，其通项为 x^(2n+1)/(2n+1)!，与双曲正弦函数 sinh x 的麦克劳林展开式相同。
公式：sinh x = ∑_{n=0}^∞ x^(2n+1)/(2n+1)!
提示：注意指数为奇数，分母为奇数的阶乘。
步骤 2/2
目标：写出和函数
根据双曲正弦函数的定义，sinh x = (e^x - e^{-x})/2，其展开式即为所给级数，因此和函数 S(x) = sinh x。
公式：sinh x = (e^x - e^{-x})/2
提示：双曲正弦函数是奇函数，展开式只有奇次项。
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