kaoyan1basic 高等数学 第587题
📝 题目
### 第587题 把函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-2 x-3}$ 展开为 $x$ 的幂级数，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## ✓ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n}{4\cdot 3^{n+1}}-\frac{1}{4}\right)x^n$，$|x|<1$ **解析**： 步骤1：因式分解$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$，故$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-3)(x+1)}=\frac14\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+1}\right)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{1}{x-3}=-\frac13\cdot\frac{1}{1-x/3}=-\frac13\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{x}{3}\right)^n$，$|x|<3$。 步骤3：$\displaystyle \frac{1}{x+1}=\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^n$，$|x|<1$。 步骤4：取公共收敛域$|x|<1$，得$\displaystyle f(x)=\frac14\left(-\frac13\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{3^n}-\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^n\right)=\sum_{n=0}^\infty\left(-\frac{1}{4\cdot3^{n+1}}-\frac{(-1)^n}{4}\right)x^n$。 **难度**：★★★☆☆