kaoyan1basic 高等数学 第588题
📝 题目
### 第588题 $f(x)=$\ln \left(2+x-3 x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\_\_\_\_$ ．$ 答题区 ◯纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \ln 2+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}\left(\frac{x}{2}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}(-3x)^n$，$\displaystyle |x|<\frac13$ **解析**： 步骤1：$f(x)=\ln(2+x-3x^2)=\ln[(1-x)(2+3x)]=\ln(1-x)+\ln(2+3x)$。 步骤2：$\displaystyle \ln(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$，$|x|<1$。 步骤3：$\displaystyle \ln(2+3x)=\ln2+\ln(1+\frac{3x}{2})=\ln2+\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{(3x/2)^n}{n}$，$\displaystyle |x|<\frac23$。 步骤4：公共收敛域$\displaystyle |x|<\frac13$，合并得$\displaystyle \ln2+\sum_{n=1}^\infty\left[-\frac{1}{n}+(-1)^{n-1}\frac{3^n}{2^n n}\right]x^n$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分解对数函数
将 f(x)=ln(2+x-3x^2) 分解为 ln(1-x) + ln(2+3x)。
公式：2+x-3x^2 = (1-x)(2+3x)
提示：注意因式分解的正确性。
步骤 2/4
目标：展开 ln(1-x)
利用 ln(1-u) 的泰勒展开，其中 u=x，得到 ln(1-x) = -∑_{n=1}^∞ x^n/n，收敛域 |x|<1。
公式：ln(1-u) = -∑_{n=1}^∞ u^n/n, |u|<1
提示：注意负号。
步骤 3/4
目标：展开 ln(2+3x)
先提取 ln2，再对 ln(1+3x/2) 展开：ln(2+3x)=ln2+ln(1+3x/2)=ln2+∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} (3x/2)^n/n，收敛域 |3x/2|<1 即 |x|<2/3。
公式：ln(1+u)=∑_{n=1}^∞ (-1)^{n-1} u^n/n, |u|<1
提示：注意提取 ln2 和收敛域。
步骤 4/4
目标：确定公共收敛域并合并
两个展开的公共收敛域为 |x|<1/3。合并得 f(x)=ln2 + ∑_{n=1}^∞ [ -1/n + (-1)^{n-1} 3^n/(2^n n) ] x^n。
提示：公共收敛域取交集。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。