kaoyan1basic 高等数学 第589题
📝 题目
### 第589题 设 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 的幂级数展开式是 $\_\_\_\_$ ． ## $(v)$
纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{2n(2n-1)}$，$|x|\leqslant1$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle f(x)=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)$。 步骤2：$\displaystyle \arctan x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，$|x|\leqslant1$，故$\displaystyle x\arctan x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}$。 步骤3：$\displaystyle \ln(1+x^2)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n}$，$|x|\leqslant1$。 步骤4：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+2}}{2n+1}-\frac12\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{n}$，令$n$从1开始，得$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\frac{x^{2n}}{2n(2n-1)}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简函数表达式
将 f(x) 中的对数项化简：ln√(1+x²) = (1/2)ln(1+x²)，所以 f(x) = x arctan x - (1/2)ln(1+x²)。
公式：ln√(1+x²) = (1/2)ln(1+x²)
提示：注意对数性质的应用。
步骤 2/4
目标：写出 arctan x 的幂级数展开式
利用已知展开式：arctan x = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)，|x|≤1。两边乘以 x 得：x arctan x = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^(2n+2)/(2n+1)。
公式：arctan x = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)
提示：注意 x 的指数变化。
步骤 3/4
目标：写出 ln(1+x²) 的幂级数展开式
利用已知展开式：ln(1+u) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^(n-1) u^n/n，|u|≤1。令 u=x²，得 ln(1+x²) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^(n-1) x^(2n)/n，|x|≤1。
公式：ln(1+u) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^(n-1) u^n/n
提示：注意 u 替换为 x² 后，n 从 1 开始。
步骤 4/4
目标：代入并合并幂级数
将展开式代入 f(x)：f(x) = ∑_{n=0}^∞ (-1)^n x^(2n+2)/(2n+1) - (1/2)∑_{n=1}^∞ (-1)^(n-1) x^(2n)/n。将第一个和式的指标改为从 n=1 开始：令 m=n+1，则 n=m-1，当 n=0 时 m=1，所以 ∑_{n=0}^∞ = ∑_{m=1}^∞ (-1)^(m-1) x^(2m)/(2m-1)。统一用 n 表示：f(x) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^(n-1) x^(2n)/(2n-1) - (1/2)∑_{n=1}^∞ (-1)^(n-1) x^(2n)/n = ∑_{n=1}^∞ (-1)^(n-1) x^(2n) [1/(2n-1) - 1/(2n)]。计算括号内：1/(2n-1) - 1/(2n) = (2n - (2n-1))/(2n(2n-1)) = 1/(2n(2n-1))。所以 f(x) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^(n-1) x^(2n)/(2n(2n-1))，|x|≤1。
公式：1/(2n-1) - 1/(2n) = 1/(2n(2n-1))
提示：注意指标变换和合并同类项。
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