kaoyan1basic 高等数学 第590题
📝 题目
### 第590题 设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数且 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0, & 1
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}$ **解析**： 步骤1：周期$T=2$，半周期$l=1$，傅里叶系数公式$\displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)\cos\frac{2n\pi x}{T}dx=\int_0^2 f(x)\cos(n\pi x)dx$。 步骤2：$f(x)$在$[0,1]$上为$x$，在$(1,2)$上为0，故$a_n=\int_0^1 x\cos(n\pi x)dx$。 步骤3：计算积分：$\displaystyle \int_0^1 x\cos(n\pi x)dx=\left[\frac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}+\frac{\cos(n\pi x)}{n^2\pi^2}\right]_0^1=\frac{\cos(n\pi)}{n^2\pi^2}-\frac{1}{n^2\pi^2}=\frac{(-1)^n-1}{n^2\pi^2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出傅里叶系数公式
周期T=2，半周期l=1，傅里叶系数公式a_n = (2/T) ∫_0^T f(x) cos(2nπx/T) dx = ∫_0^2 f(x) cos(nπx) dx。
公式：a_n = ∫_0^2 f(x) cos(nπx) dx
提示：注意周期为2时，cos项频率为nπ。
步骤 2/3
目标：代入分段函数表达式
f(x)在[0,1]上为x，在(1,2)上为0，因此a_n = ∫_0^1 x cos(nπx) dx。
公式：a_n = ∫_0^1 x cos(nπx) dx
提示：分段积分时，只取非零区间。
步骤 3/3
目标：计算定积分
使用分部积分：∫ x cos(nπx) dx = (x sin(nπx))/(nπ) + (cos(nπx))/(n^2π^2)，代入上下限得：[(1·sin(nπ))/(nπ) + (cos(nπ))/(n^2π^2)] - [(0·0)/(nπ) + (cos0)/(n^2π^2)] = (cos(nπ))/(n^2π^2) - 1/(n^2π^2) = ((-1)^n - 1)/(n^2π^2)。
公式：∫_0^1 x cos(nπx) dx = [x sin(nπx)/(nπ) + cos(nπx)/(n^2π^2)]_0^1
提示：注意sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n。
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