kaoyan1basic 高等数学 第592题
📝 题目
### 第592题 过点 $P(-1,0,4)$ 且与平面 $3 x-4 y+z+10=0$ 平行，又与直线 $\displaystyle L: \frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{1}= \frac{z}{2}$ 相交的直线方程是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{x+1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{-4}$ **解析**： 步骤1：设所求直线过点$P(-1,0,4)$，方向向量$\vec{s}=(a,b,c)$。与平面平行，则$\vec{s}\perp$法向量$\vec{n}=(3,-4,1)$，即$3a-4b+c=0$。 步骤2：与直线$L$相交，$L$过点$Q(-1,3,0)$，方向$\vec{s}_1=(1,1,2)$。设交点$R$在$L$上，$R=(-1+t,3+t,2t)$，则$\overrightarrow{PR}=(t,3+t,2t-4)$与$\vec{s}$平行，故$\displaystyle \frac{t}{a}=\frac{3+t}{b}=\frac{2t-4}{c}$。 步骤3：联立$3a-4b+c=0$及比例关系，取$t=1$得$a=4,b=-1,c=-4$，直线方程$\displaystyle \frac{x+1}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z-4}{-4}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定所求直线的方向向量满足的条件
设所求直线过点P(-1,0,4)，方向向量为s=(a,b,c)。由于直线与平面3x-4y+z+10=0平行，所以s垂直于平面的法向量n=(3,-4,1)，即3a-4b+c=0。
公式：3a-4b+c=0
提示：直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直。
步骤 2/3
目标：利用与已知直线相交的条件建立方程
已知直线L过点Q(-1,3,0)，方向向量s1=(1,1,2)。设所求直线与L的交点为R，由于R在L上，可设R=(-1+t, 3+t, 2t)。则向量PR=(t, 3+t, 2t-4)与s平行，因此对应坐标成比例：t/a = (3+t)/b = (2t-4)/c。
公式：t/a = (3+t)/b = (2t-4)/c
提示：利用参数t表示交点坐标，通过向量平行得到比例关系。
步骤 3/3
目标：求解方向向量并写出直线方程
联立3a-4b+c=0和比例关系，取t=1（可任意取非零t，但需保证比例成立），解得a=4, b=-1, c=-4。因此所求直线方程为(x+1)/4 = y/(-1) = (z-4)/(-4)。
公式：a=4, b=-1, c=-4
提示：取t=1简化计算，也可取其他值但需验证比例。
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