kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（解答题） 16．计算二重积分 $\iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant y\right\}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{3}-\frac{4}{9}$ **解析**： 步骤1：区域$D$：$x^{2}+y^{2}\le y$，即$\displaystyle x^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}\le\frac{1}{4}$，半径为$\displaystyle \frac{1}{2}$的圆，圆心$\displaystyle (0,\frac{1}{2})$。 步骤2：极坐标下，方程化为$r^{2}\le r\sin\theta$，即$r\le\sin\theta$，$\theta$从$0$到$\pi$。 步骤3：被积函数$\sqrt{1-r^{2}}$，积分$\int_{0}^{\pi}d\theta\int_{0}^{\sin\theta}\sqrt{1-r^{2}}\cdot r dr$。 步骤4：对$r$积分，令$u=1-r^{2}$，$du=-2rdr$，$\displaystyle rdr=-\frac{1}{2}du$，$r$从0到$\sin\theta$，$u$从1到$1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta$，积分$\displaystyle \int_{0}^{\sin\theta}r\sqrt{1-r^{2}}dr=\int_{1}^{\cos^{2}\theta}-\frac{1}{2}\sqrt{u}du=\frac{1}{2}\int_{\cos^{2}\theta}^{1}u^{1/2}du=\frac{1}{3}(1-|\cos^{3}\theta|)$。 步骤5：再对$\theta$积分$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{1}{3}(1-|\cos^{3}\theta|)d\theta=\frac{1}{3}\left(\pi-2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{3}\theta d\theta\right)=\frac{1}{3}\left(\pi-2\cdot\frac{2}{3}\right)=\frac{\pi}{3}-\frac{4}{9}$。 **难度**：★★★☆☆