kaoyan1basic 高等数学 第24题
📝 题目
### 【强化篇】第24题（解答题） 24．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4,(x-1)^{2}+y^{2} \geqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ，计算
$$ $\iint_{D}\left(x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ $$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{8}{3}\pi - \frac{4}{3}$ **解析**： 步骤1：区域$D$由$x^2+y^2 \le 4$（上半圆）、$(x-1)^2+y^2 \ge 1$（圆外）和$y\ge 0$围成，即大上半圆挖去小上半圆。 步骤2：采用极坐标，大圆$r=2$，小圆$r=2\cos\theta$，$\theta\in[0,\pi/2]$。被积函数$xy+y^2=r^2\sin\theta\cos\theta+r^2\sin^2\theta$。 步骤3：积分化为$\int_0^{\pi/2}d\theta\int_{2\cos\theta}^2 (r^3\sin\theta\cos\theta+r^3\sin^2\theta)dr$。 步骤4：先对$r$积分得$\displaystyle \frac{1}{4}(16-16\cos^4\theta)(\sin\theta\cos\theta+\sin^2\theta)$，再对$\theta$积分得$\displaystyle \frac{8}{3}\pi - \frac{4}{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析积分区域D的构成
区域D由不等式x^2+y^2≤4（半径为2的上半圆）、(x-1)^2+y^2≥1（圆心(1,0)半径为1的上半圆外部）和y≥0围成，即大上半圆挖去小上半圆。
提示：画出区域草图，明确积分范围。
步骤 2/6
目标：选择极坐标变换
令x=rcosθ, y=rsinθ，则大圆边界r=2，小圆边界r=2cosθ（由(x-1)^2+y^2=1得r^2-2rcosθ=0，即r=2cosθ）。θ范围：从两圆交点处θ=0到θ=π/2。
公式：x=rcosθ, y=rsinθ, dσ=rdrdθ
提示：注意小圆方程转化为极坐标时，r=2cosθ，且θ∈[0,π/2]。
步骤 3/6
目标：将被积函数用极坐标表示
xy+y^2 = r^2 sinθ cosθ + r^2 sin^2θ = r^2 sinθ (cosθ+sinθ)。
公式：xy+y^2 = r^2 sinθ cosθ + r^2 sin^2θ
步骤 4/6
目标：写出二重积分的极坐标形式
∬_D (xy+y^2) dσ = ∫_{θ=0}^{π/2} dθ ∫_{r=2cosθ}^{2} (r^2 sinθ cosθ + r^2 sin^2θ) r dr = ∫_{0}^{π/2} dθ ∫_{2cosθ}^{2} (r^3 sinθ cosθ + r^3 sin^2θ) dr。
公式：∬_D f dσ = ∫_{θ=α}^{β} dθ ∫_{r=r1(θ)}^{r2(θ)} f(rcosθ, rsinθ) r dr
提示：注意r的积分下限是2cosθ，上限是2。
步骤 5/6
目标：先对r积分
∫_{2cosθ}^{2} r^3 dr = (1/4)(2^4 - (2cosθ)^4) = (1/4)(16 - 16cos^4θ) = 4(1 - cos^4θ)。因此内层积分结果为 (sinθ cosθ + sin^2θ) * 4(1 - cos^4θ)。
公式：∫ r^3 dr = r^4/4
提示：注意提取公因子。
步骤 6/6
目标：对θ积分
原积分 = 4 ∫_{0}^{π/2} (sinθ cosθ + sin^2θ)(1 - cos^4θ) dθ。展开并利用三角恒等式计算，最终得到 8π/3 - 4/3。
公式：∫_{0}^{π/2} sin^2θ dθ = π/4, ∫_{0}^{π/2} sinθ cosθ dθ = 1/2, 以及高次幂积分公式
提示：可令u=cosθ简化计算，或直接使用倍角公式。
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