kaoyan1basic 高等数学 第24题
📝 题目
### 【基础篇】第24题（解答题） 24．计算 $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 所包围的在第一象限内的区域。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{8}(\sqrt{2}-1)$ **解析**： 步骤1：区域$D$为第一象限内$x^2+y^2\le 1$，即$\displaystyle r\in[0,1], \theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$。 步骤2：被积函数$\displaystyle \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}}$，$dxdy = r dr d\theta$。 步骤3：$\displaystyle I = \int_0^{\pi/2} d\theta \int_0^1 \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}} \, r dr = \frac{\pi}{2} \int_0^1 r \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}} dr$。 步骤4：令$t=r^2$，$dt=2r dr$，$\displaystyle I = \frac{\pi}{2} \int_0^1 \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-t}{1+t}} dt = \frac{\pi}{4} \int_0^1 \sqrt{\frac{1-t}{1+t}} dt$。 步骤5：令$\displaystyle u=\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$，则$\displaystyle t=\frac{1-u^2}{1+u^2}$，$\displaystyle dt = \frac{-4u}{(1+u^2)^2} du$，$t$从$0$到$1$对应$u$从$1$到$0$。 步骤6：$\displaystyle I = \frac{\pi}{4} \int_1^0 u \cdot \frac{-4u}{(1+u^2)^2} du = \pi \int_0^1 \frac{u^2}{(1+u^2)^2} du$。 步骤7：令$u=\tan\phi$，$du=\sec^2\phi d\phi$，$u$从$0$到$1$对应$\phi$从$0$到$\frac{\pi