kaoyan1basic 高等数学 第23题

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📝 题目

### 【强化篇】第23题（填空题） 23． $\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{6}(1-e^{-1})$ **解析**： 步骤1：积分区域：$x$从$0$到$1$，$y$从$x$到$1$，即$0\le x\le y\le 1$。 步骤2：交换积分次序：$y$从$0$到$1$，$x$从$0$到$y$。 步骤3：$\displaystyle I = \int_0^1 dy \int_0^y x^2 e^{-y^2} dx = \int_0^1 e^{-y^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^y dy = \frac{1}{3} \int_0^1 y^3 e^{-y^2} dy$。 步骤4：令$t=y^2$，$dt=2y dy$，$\displaystyle y^3 dy = \frac{1}{2} t dt$，$\displaystyle I = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{1}{2} t e^{-t} dt = \frac{1}{6} \int_0^1 t e^{-t} dt$。 步骤5：分部积分：$\int_0^1 t e^{-t} dt = [-t e^{-t}]_0^1 + \int_0^1 e^{-t} dt = -e^{-1} + [ -e^{-t} ]_0^1 = -e^{-1} - e^{-1} + 1 = 1 - 2e^{-1}$。 步骤6：$\displaystyle I = \frac{1}{6}(1 - 2e^{-1})$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：确定积分区域
积分区域由 x 从 0 到 1，y 从 x 到 1 描述，即 0 ≤ x ≤ y ≤ 1。
提示：画出积分区域，明确 x 和 y 的范围。
步骤 2/6
目标：交换积分次序
交换积分次序：y 从 0 到 1，x 从 0 到 y。
公式：I = ∫_0^1 dy ∫_0^y x^2 e^{-y^2} dx
提示：交换次序后，内层积分对 x 进行，外层对 y。
步骤 3/6
目标：计算内层积分
计算内层积分：∫_0^y x^2 dx = [x^3/3]_0^y = y^3/3。
公式：I = ∫_0^1 e^{-y^2} * (y^3/3) dy = (1/3) ∫_0^1 y^3 e^{-y^2} dy
提示：注意 e^{-y^2} 与 y 无关，可提出。
步骤 4/6
目标：变量代换
令 t = y^2，则 dt = 2y dy，y^3 dy = (1/2) t dt。
公式：I = (1/3) ∫_0^1 (1/2) t e^{-t} dt = (1/6) ∫_0^1 t e^{-t} dt
提示：代换后注意积分限变化：y=0 时 t=0，y=1 时 t=1。
步骤 5/6
目标：分部积分
计算 ∫_0^1 t e^{-t} dt：令 u=t, dv=e^{-t} dt，则 du=dt, v=-e^{-t}。分部积分得：[-t e^{-t}]_0^1 + ∫_0^1 e^{-t} dt = -e^{-1} + [-e^{-t}]_0^1 = -e^{-1} - e^{-1} + 1 = 1 - 2e^{-1}。
公式：∫_0^1 t e^{-t} dt = 1 - 2e^{-1}
提示：分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du。
步骤 6/6
目标：得出结果
将分部积分结果代入：I = (1/6)(1 - 2e^{-1})。
公式：I = (1/6)(1 - 2e^{-1})
提示：最终结果化简为 (1/6)(1 - 2/e)。

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