kaoyan1basic 高等数学 第23题
📝 题目
### 【基础篇】第23题（解答题） 23．计算二重积分 $I=\iint_{D} x\left[1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由曲线 $y=x^{3}$ 及直线 $y=1, x=-1$围成，$f(u)$ 为连续函数．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{2}{5}$ **解析**： 步骤1：区域$D$由$y=x^3, y=1, x=-1$围成，$x$从$-1$到$1$，$y$从$x^3$到$1$。 步骤2：$I = \iint_D x \, dxdy + \iint_D x y f(x^2+y^2) \, dxdy$。 步骤3：第一项：$\displaystyle \iint_D x \, dxdy = \int_{-1}^1 x dx \int_{x^3}^1 dy = \int_{-1}^1 x(1-x^3) dx = \int_{-1}^1 (x - x^4) dx = 0 - 2\int_0^1 x^4 dx = -\frac{2}{5}$。 步骤4：第二项：由于$f$连续，考虑对称性。令$u=-x$，则区域对称，但被积函数$x y f(x^2+y^2)$关于$x$为奇函数，区域关于$y$轴对称？区域$D$关于$y$轴不对称（$x$从$-1$到$1$，但下边界$y=x^3$是奇函数，所以区域关于原点对称？实际上，若$(x,y)\in D$，则$(-x,-y)$是否在$D$？$(-x)^3 = -x^3$，所以$y$从$x^3$到$1$，对应$-y$从$-x^3$到$-1$，不在$D$内。故无对称性。 步骤5：直接计算：$\iint_D x y f(x^2+y^2) dxdy = \int_{-1}^1 x dx \int_{x^3}^1 y f(x^2+y^2) dy$。令$t=x^2+y^2$，则$dt=2y dy$，$\displaystyle y dy = \frac{1}{2} dt$，$y$从$x^3$到$1$对应$t$从$x^2+x^6$到$x^2+1$。 步骤6：内层积分$\displaystyle \int_{x^3}^1 y f(x^2+y^2) dy = \frac{1}{2} \int_{x^2+x^6}^{x^2+1} f(t) dt$。 步骤7：第二项$\displaystyle = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 x \left( \int_{x^2+x^6}^{x^2+1} f(t) dt \right) dx$。被积函数$x$乘以一个偶函数（因为$x^2$和$x^6$是偶函数，积分限关于$x$为偶），整体为奇函数，在对称区间积分为0。 步骤8：故$\displaystyle I = -\frac{2}{5}$。 **难度**：★★★★☆