kaoyan1basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 【强化篇】第22题（填空题） 22． $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{4}-y^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{6}$ **解析**： 步骤1：积分区域：$y$从$0$到$1$，$x$从$\sqrt{y}$到$1$，即$x^2 \ge y$，$0\le x\le 1$。 步骤2：交换积分次序：$x$从$0$到$1$，$y$从$0$到$x^2$。 步骤3：$I = \int_0^1 dx \int_0^{x^2} \sqrt{x^4 - y^2} \, dy$。 步骤4：内层积分：令$y = x^2 \sin t$，$dy = x^2 \cos t dt$，$y$从$0$到$x^2$对应$t$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，$\sqrt{x^4 - y^2} = x^2 \cos t$。 步骤5：$\displaystyle \int_0^{x^2} \sqrt{x^4 - y^2} dy = \int_0^{\pi/2} x^2 \cos t \cdot x^2 \cos t dt = x^4 \int_0^{\pi/2} \cos^2 t dt = x^4 \cdot \frac{\pi}{4}$。 步骤6：$\displaystyle I = \int_0^1 x^4 \cdot \frac{\pi}{4} dx = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi}{20}$。 **难度**：★★★☆☆