kaoyan1basic 高等数学 第22题
📝 题目
### 【基础篇】第22题（解答题） 22．计算二重积分 $\iint_{D}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant x+y\right\}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ **解析**： 步骤1：区域$D$：$x^2+y^2 \le x+y$，即$\displaystyle (x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2 \le \frac{1}{2}$，圆心$\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，半径$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$。 步骤2：作平移：$\displaystyle u=x-\frac{1}{2}, v=y-\frac{1}{2}$，则$D$为$\displaystyle u^2+v^2 \le \frac{1}{2}$，$\displaystyle x+y^2 = (u+\frac{1}{2}) + (v+\frac{1}{2})^2 = u + v^2 + v + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = u + v^2 + v + \frac{3}{4}$。 步骤3：由对称性，$\iint u \, du dv = 0$，$\iint v \, du dv = 0$。$\displaystyle \iint v^2 du dv = \frac{1}{2}\iint (u^2+v^2) du dv$。 步骤4：用极坐标：$u=r\cos\theta, v=r\sin\theta$，$r$从$0$到$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$，$\displaystyle \iint (u^2+v^2) du dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{1/\sqrt{2}} r^2 \cdot r dr = 2\pi \cdot \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{8}$。故$\displaystyle \iint v^2 du dv = \frac{\pi}{16}$。 步骤5：区域面积$\displaystyle \iint 1 du dv = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}$。 步骤6：$\displaystyle I = 0 + \frac{\pi}{16} + 0 + \frac{3}{4}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16} + \frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{16} + \frac{6\pi}{16} = \frac{7\pi}{16}$。 **难度**：★★★☆☆