kaoyan1basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 【强化篇】第21题（解答题） 21．设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{\pi}, 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{\pi}\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D} \sin \left(\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}\right) \mathrm{d} \sigma$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}(1-\cos\pi)$? 实际上$\sin(\max\{x^2,y^2\})$，积分区域为$[0,\sqrt{\pi}]\times[0,\sqrt{\pi}]$。 **答案**：$1$ **解析**： 步骤1：区域$D$为正方形$0\le x\le\sqrt{\pi}, 0\le y\le\sqrt{\pi}$。由对称性，$I = 2\iint_{0\le y\le x\le\sqrt{\pi}} \sin(x^2) dxdy$。 步骤2：交换积分次序：$x$从$0$到$\sqrt{\pi}$，$y$从$0$到$x$，$I = 2\int_0^{\sqrt{\pi}} dx \int_0^x \sin(x^2) dy = 2\int_0^{\sqrt{\pi}} x \sin(x^2) dx$。 步骤3：令$t=x^2$，$dt=2x dx$，$I = \int_0^{\pi} \sin t \, dt = [-\cos t]_0^{\pi} = 1 - (-1) = 2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用对称性简化积分区域
区域D为正方形[0,√π]×[0,√π]，被积函数sin(max{x²,y²})关于直线y=x对称。因此积分等于2倍在区域0≤y≤x≤√π上的积分，此时max{x²,y²}=x²。
公式：I = 2∬_{0≤y≤x≤√π} sin(x²) dxdy
提示：对称性：若积分区域关于y=x对称，且被积函数对称，则积分可化为一半区域的两倍。
步骤 2/3
目标：交换积分次序化为累次积分
在区域0≤y≤x≤√π中，先对y积分，x从0到√π，y从0到x。则I = 2∫_{0}^{√π} dx ∫_{0}^{x} sin(x²) dy = 2∫_{0}^{√π} x sin(x²) dx。
公式：∫_{0}^{x} dy = x
提示：注意内层积分对y是常数，结果为x sin(x²)。
步骤 3/3
目标：计算定积分
令t=x²，则dt=2x dx，x从0到√π对应t从0到π。积分变为∫_{0}^{π} sin t dt = [-cos t]_{0}^{π} = -cosπ + cos0 = 1 + 1 = 2。
公式：∫ sin t dt = -cos t + C
提示：换元时注意积分限的变化。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。