kaoyan1basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 【基础篇】第21题（解答题） 21．已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_{D}\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ **解析**： 步骤1：区域$D$：$(x-1)^2+y^2 \le 1$，即圆心$(1,0)$半径$1$的圆。 步骤2：作平移：$u=x-1, v=y$，则$D$变为$u^2+v^2 \le 1$，$x^2-3y^2 = (u+1)^2 - 3v^2 = u^2 - 3v^2 + 2u + 1$。 步骤3：$I = \iint_{u^2+v^2\le 1} (u^2 - 3v^2 + 2u + 1) du dv$。由对称性，$\iint u \, du dv = 0$，$\displaystyle \iint u^2 du dv = \iint v^2 du dv = \frac{1}{2}\iint (u^2+v^2) du dv$。 步骤4：用极坐标$u=r\cos\theta, v=r\sin\theta$，$\displaystyle \iint (u^2+v^2) du dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^2 \cdot r dr = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$。故$\displaystyle \iint u^2 du dv = \frac{\pi}{4}$，$\displaystyle \iint v^2 du dv = \frac{\pi}{4}$。 步骤5：$\displaystyle \iint (u^2 - 3v^2) du dv = \frac{\pi}{4} - 3\cdot\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$。$\iint 1 du dv = \pi$。 步骤6：$\displaystyle I = -\frac{\pi}{2} + 0 + \pi = \frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆