kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（填空题） 20． $\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^{0} \mathrm{~d} x \int_{-x}^{\sqrt{4-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y+\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{2 x-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{8}{3}(2\sqrt{2}-1)$ **解析**： 步骤1：第一个积分：$x$从$-\sqrt{2}$到$0$，$y$从$-x$到$\sqrt{4-x^2}$；第二个积分：$x$从$0$到$2$，$y$从$\sqrt{2x-x^2}$到$\sqrt{4-x^2}$。 步骤2：合并区域：$x$从$-\sqrt{2}$到$2$，$y$从下边界到上边界。下边界：当$x<0$时$y=-x$，当$x\ge0$时$y=\sqrt{2x-x^2}$；上边界均为$\sqrt{4-x^2}$。 步骤3：用极坐标：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$。下边界：$y=-x$对应$\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{4}$；$y=\sqrt{2x-x^2}$即$r=2\cos\theta$，对应$\theta$从$0$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$；上边界$r=2$。 步骤4：$\theta$从$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$，$r$从$0$到$2$，但需注意在$\displaystyle \theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$时$r$从$0$到$2$，在$\displaystyle \theta\in[-\frac{\pi}{4},0]$时$r$从$0$到$2$（因为$y=-x$在极坐标下为$\theta=-\pi/4$，但$r$无限制）。实际上区域为$r\le 2$且$\theta\ge -\pi/4$且$r\ge 2\cos\theta$? 需仔细。 步骤5：原积分区域为：$x$从$-\sqrt{2}$到$0$，$y$从$-x$到$\sqrt{4-x^2}$，即$\theta$从$-\pi/4$到$\pi/2$，$r$从$0$到$2$，但需排除$r<2\cos\theta$的部分？不对，因为当$x\ge0$时下边界是$r=2\cos\theta$，所以实际区域是$\theta$从$-\pi/4$到$\pi/2$，$r$从$\max(0, 2\cos\theta)$到$2$。 步骤6：$I = \int_{-\pi/4}^{\pi/2} d\theta \int_{\max(0,2\cos\theta)}^{2} r \cdot r \, dr = \int_{-\pi/4}^{\pi/2} d\theta \int_{\max(0,2\cos\theta)}^{2} r^2 dr$。 步骤7：当$\theta\in[-\pi/4, \pi/2)$，$\cos\theta$在$[-\pi/4, \pi/2)$上，当$\theta\in[-\pi/4, \pi/2)$，$\cos\theta$在$\theta=\pi/2$时为0，在$\theta=-\pi/4$时为$\sqrt{2}/2$，在$\theta=0$时为1。故$\max(0,2\cos\theta)=2\cos\theta$当$\theta\in[-\pi/4, \pi/2)$，但$\cos\theta$在$\theta>\pi/2$时负，但这里只到$\pi/2$，所以$\theta\in[-\pi/4, \pi/2)$时$2\cos\theta\ge0$，故下界为$2\cos\theta$。 步骤8：$\displaystyle I = \int_{-\pi/4}^{\pi/2} d\theta \int_{2\cos\theta}^{2} r^2 dr = \int_{-\pi/4}^{\pi/2} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{2\cos\theta}^{2} d\theta = \frac{1}{3} \int_{-\pi/4}^{\pi/2} (8 - 8\cos^3\theta) d\theta = \frac{8}{3} \int_{-\pi/4}^{\pi/2} (1 - \cos^3\theta) d\theta$。 步骤9：$\displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/2} 1 d\theta = \frac{3\pi}{4}$。$\displaystyle \int_{-\pi/4}^{\pi/2} \cos^3\theta d\theta = \int_{-\pi/4}^{\pi/2} \cos\theta (1-\sin^2\theta) d\theta = \left[ \sin\theta - \frac{1}{3}\sin^3\theta \right]_{-\pi/4}^{\pi/2} = (1 - \frac{1}{3}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{8}) = \frac{2}{3} - (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{24}) = \frac{2}{3} + \frac{11\sqrt{2}}{24}$。 步骤10：$\displaystyle I = \frac{8}{3} \left( \frac{3\pi}{4} - \frac{2}{3} - \frac{11\sqrt{2}}{24} \right) = 2\pi - \frac{16}{9} - \frac{11\sqrt{2}}{9}$。 **难度**：★★★★☆