kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【基础篇】第20题（解答题） 20．设平面区域 $D=\{(x, y) \mid x+y \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{-(x+y)}}{\sqrt{x y}} \mathrm{~d} \sigma$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\pi$ **解析**： 步骤1：令$u = x+y, v = x-y$，则$\displaystyle x = \frac{u+v}{2}, y = \frac{u-v}{2}$，雅可比行列式$\displaystyle |J| = \frac{1}{2}$。区域$D$：$u \le 1, u\ge 0, v$从$-u$到$u$。 步骤2：$\displaystyle I = \iint_{0\le u\le 1, -u\le v\le u} \frac{e^{-u}}{\sqrt{\frac{u+v}{2} \cdot \frac{u-v}{2}}} \cdot \frac{1}{2} du dv = \frac{1}{2} \int_0^1 e^{-u} du \int_{-u}^u \frac{2}{\sqrt{u^2-v^2}} dv = \int_0^1 e^{-u} du \int_{-u}^u \frac{1}{\sqrt{u^2-v^2}} dv$。 步骤3：内层积分$\displaystyle \int_{-u}^u \frac{1}{\sqrt{u^2-v^2}} dv = \left[ \arcsin\frac{v}{u} \right]_{-u}^u = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$。 步骤4：$I = \int_0^1 e^{-u} \cdot \pi du = \pi (1 - e^{-1})$。 **难度**：★★★☆☆