kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（解答题） 19．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+y^{2} \geqslant 1,(x-2)^{2}+y^{2} \leqslant 4, y \geqslant x\right\}$ ，计算 $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{9\pi}{2}$ **解析**： 步骤1：区域$D$：$(x-1)^2+y^2 \ge 1$（圆外），$(x-2)^2+y^2 \le 4$（圆内），$y \ge x$（直线以上）。 步骤2：用极坐标：$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$。圆$(x-1)^2+y^2=1$即$r=2\cos\theta$；圆$(x-2)^2+y^2=4$即$r=4\cos\theta$；直线$y=x$即$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$。 步骤3：$\theta$从$\displaystyle \frac{\pi}{4}$到$\displaystyle \frac{\pi}{2}$（因为$y\ge x$且圆内），$r$从$2\cos\theta$到$4\cos\theta$。 步骤4：$\displaystyle I = \int_{\pi/4}^{\pi/2} d\theta \int_{2\cos\theta}^{4\cos\theta} r^2 \cdot r \, dr = \int_{\pi/4}^{\pi/2} d\theta \int_{2\cos\theta}^{4\cos\theta} r^3 dr = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{2\cos\theta}^{4\cos\theta} d\theta = \frac{1}{4} \int_{\pi/4}^{\pi/2} (256\cos^4\theta - 16\cos^4\theta) d\theta = \frac{1}{4} \int_{\pi/4}^{\pi/2} 240\cos^4\theta d\theta = 60 \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta$。 步骤5：$\displaystyle \cos^4\theta = \left(\frac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1+2\cos2\theta+\cos^2 2\theta) = \frac{1}{4}(1+2\cos2\theta+\frac{1+\cos4\theta}{2}) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}\cos4\theta$。 步骤6：积分$\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta = \left[ \frac{3}{8}\theta + \frac{1}{4}\sin2\theta + \frac{1}{32}\sin4\theta \right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \left(\frac{3\pi}{16} + 0 + 0\right) - \left(\frac{3\pi}{32} + \frac{1}{4}\cdot 1 + \frac{1}{32}\cdot 0\right) = \frac{3\pi}{32} - \frac{1}{4}$。 步骤7：$\displaystyle I = 60 \left( \frac{3\pi}{32} - \frac{1}{4} \right) = \frac{180\pi}{32} - 15 = \frac{45\pi}{8} - 15$。 **难度**：★★★★☆