kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【基础篇】第19题（解答题） 19．计算 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 2 x\right\}$ ，
$$ f(x, y)= \begin{cases}y, & 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant x, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{4}{3}$ **解析**： 步骤1：区域$D$为$x^2+y^2 \ge 2x$即$(x-1)^2+y^2 \ge 1$，与$f(x,y)$非零区域$1\le x\le 2, 0\le y\le x$的交集。 步骤2：在$1\le x\le 2$内，$y$从$0$到$x$，且需满足$(x-1)^2+y^2 \ge 1$，即$y \ge \sqrt{1-(x-1)^2}$（因为$y\ge0$）。 步骤3：$x$从$1$到$2$，$y$从$\sqrt{2x-x^2}$到$x$。 步骤4：$\displaystyle I = \int_1^2 dx \int_{\sqrt{2x-x^2}}^x y \, dy = \int_1^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{\sqrt{2x-x^2}}^x dx = \frac{1}{2} \int_1^2 (x^2 - (2x-x^2)) dx = \frac{1}{2} \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx = \int_1^2 (x^2 - x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$。 **难度**：★★★☆☆