kaoyan1basic 高等数学 第18题
📝 题目
### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，计算 $\iint_{D}|x y-1| \mathrm{d} \sigma$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{2} + 2\ln 2$ **解析**： 步骤1：曲线$xy=1$将$D$分为两部分：$D_1: xy \ge 1$，$D_2: xy \le 1$。 步骤2：$I = \iint_{D_1} (xy-1) dxdy + \iint_{D_2} (1-xy) dxdy$。 步骤3：$D_1$中$x$从$\displaystyle \frac{1}{2}$到$2$，$y$从$\displaystyle \frac{1}{x}$到$2$；$D_2$分为三块：$\displaystyle 0\le x\le \frac{1}{2}, 0\le y\le 2$；$\displaystyle \frac{1}{2}\le x\le 2, 0\le y\le \frac{1}{x}$；$2\le x\le 2$? 实际上$x$最大为2，故$D_2$中$x$从$0$到$2$，$y$从$0$到$\min(2,1/x)$。 步骤4：计算$\displaystyle \iint_{D_1} (xy-1) dxdy = \int_{1/2}^2 dx \int_{1/x}^2 (xy-1) dy = \int_{1/2}^2 \left[ \frac{x y^2}{2} - y \right]_{y=1/x}^{2} dx = \int_{1/2}^2 \left(2x - 2 - \frac{1}{2x} + \frac{1}{x} \right) dx = \int_{1/2}^2 \left(2x - 2 + \frac{1}{2x} \right) dx = \left[ x^2 - 2x + \frac{1}{2}\ln x \right]_{1/2}^2 = (4-4+\frac{1}{2}\ln 2) - (\frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}\ln 2 - (-\frac{3}{4} - \frac{1}{2}\ln 2) = \frac{3}{4} + \ln 2$。 步骤5：$\iint_{D_2} (1-xy) dxdy = \int_0^{1/2} dx \int_0^2 (1-xy) dy + \int_{1/2}^2 dx \int_0^{1/x} (1-xy) dy$。 第一项：$\displaystyle \int_0^{1/2} \left[ y - \frac{x y^2}{2} \right]_0^2 dx = \int_0^{1/2} (2 - 2x) dx = \left[ 2x - x^2 \right]_0^{1/2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。 第二项：$\displaystyle \int_{1/2}^2 \left[ y - \frac{x y^2}{2} \right]_0^{1/x} dx = \int_{1/2}^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x} \right) dx = \int_{1/2}^2 \frac{1}{2x} dx = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2}\ln 2 = \ln 2$。 步骤6：总和$\displaystyle I = (\frac{3}{4}+\ln 2) + (\frac{3}{4}+\ln 2) = \frac{3}{2} + 2\ln 2$。 **难度**：★★★☆☆